Polynome

Original: http://www.efgh.com/math/algebra/polynomials.htm von Philip J. Erdelsky

1. Einführung

Polynome werden in vielen Bereichen der reinen und angewandten Mathematik eingesetzt.

Ein Polynom in einer Variablen über einem Feld F ist eine lineare Kombination aus einer endlichen Anzahl von nichtnegativen integralen Potenzen einer unabhängigen Variablen mit Koeffizienten aus F. Die Begriffe werden oft in der Reihenfolge der aufsteigenden oder absteigenden Potenzen geschrieben:

p(x) = pn x n + pn-1 x n-1 x n-1 + ….. + p1 x + p0.

Die Reihenfolge, in der die Begriffe geschrieben werden, ist irrelevant, da die Addition als assoziativ und kommutativ angesehen wird. Ist ein Koeffizient gleich Null, kann der entsprechende Begriff weggelassen werden. Der letzte Begriff, der als konstanter Begriff bezeichnet wird, ist eigentlich p0 x 0, aber x 0 wird weggelassen, weil sein Wert immer 1 ist; wenn der Koeffizient eines anderen Begriffs 1 ist, kann der Koeffizient weggelassen werden.

Das Polynom mit allen Koeffizienten gleich Null wird als Null-Polynom bezeichnet und ist in vielerlei Hinsicht außergewöhnlich. Ein Polynom mit mindestens einem Koeffizienten ungleich Null wird als ungleich Null Polynom bezeichnet.

Das Polynom p(x) über dem Feld F ist ebenfalls eine Funktion p(x):F⟶F, und wenn a ein Element von F ist,

p(a) = pn a n + pn-1 a n-1 a n-1 + ….. + p1 a + p0.

Zwei Polynome gelten als gleich, wenn sie gleiche Koeffizienten der entsprechenden Leistungen der unabhängigen Variablen aufweisen, nachdem gleiche Begriffe kombiniert wurden. Wenn zwei Polynome in diesem Sinne gleich sind, dann sind sie als Funktionen gleich, d.h. sie liefern gleiche Ergebnisse für gleiche Werte der unabhängigen Variablen. Der Umkehrschluss ist für einige Felder falsch. Beispielsweise haben x und x 2 keine gleichen Koeffizienten, aber sie sind für beide Werte im winzigen Feld Z2 gleich. Es gilt für unendliche Felder, wie das Feld der reellen Zahlen, aber das ist ein Satz, der Beweise erfordert.

Der Grad eines Polynoms ungleich Null ist der höchste Exponent mit einem Koeffizienten ungleich Null (nachdem ähnliche Begriffe kombiniert wurden). Zum Beispiel sind x – 7, x 3 + x + + 1 und 3x 10 Polynome des ersten, dritten und zehnten Grades. Ein Polynom ungleich Null, das nur einen konstanten Term enthält, hat den Grad Null. Es gibt spezielle Namen für Polynome von geringem Grad. Hier sind einige von ihnen:

Das Nullpolynom hat keinen Grad.

Die Begriffe „konstant“ und „linear“ sind eigentlich etwas allgemeiner, als in dieser Tabelle angegeben. Der Begriff „konstant“ beinhaltet das Nullpolynom und der Begriff „linear“ das Nullpolynom und das konstante Polynom. Daher ist ein nicht-konstantes Polynom ein ungleich Null-Polynom mit einem Grad von mindestens 1, und ein nichtlineares Polynom ist ein ungleich Null-Polynom mit einem Grad von mindestens 2.

Der Satz aller Polynome über einem Feld F mit unabhängiger Variable x wird in der Regel als F[x] geschrieben.

Addition und Multiplikation von Polynomen sind definiert als die üblichen elementaren algebraischen Operationen. So werden beispielsweise zwei Polynome addiert, indem die Koeffizienten der entsprechenden Potenzen der unabhängigen Variablen addiert werden, und zwei Polynome werden multipliziert, indem alle Paare von Begriffen multipliziert werden und ähnliche Begriffe im Produkt kombiniert werden. Wenn Addition und Multiplikation auf diese Weise definiert werden, liefern sie gültige Ergebnisse für alle Werte der unabhängigen Variablen, d.h. (p+q)(x) = p(x) + q(x) und (pq)(x) = p(x)q(x) = p(x)q(x) für alle Polynome über das gleiche Feld und jeden Wert von x in dem Feld.

Die Multiplikation eines Polynoms mit einem konstanten Wert aus dem Feld kann am ehesten als Multiplikation des Polynoms mit einem konstanten Polynom definiert werden.

Mit diesen Definitionen können wir zeigen, dass die Polynome über einem Feld F einen Vektorraum über F bilden. Es hat keine Dimension, aber der Satz aller Polynome des Grades n oder weniger, zusammen mit dem Nullpolynom, bildet einen Unterraum der Dimension n+1. Die Polynome 1, x, x, x 2, …., x n sind eine Grundlage, die oft als kanonische Grundlage bezeichnet wird.

Die folgenden Eigenschaften der Polynomaddition und -multiplikation können direkt aus den Operationen mit Koeffizienten abgeleitet werden. Hier sind p(x), q(x) und r(x) Polynome über das gleiche Feld, und c ist ein Element des Feldes.

• (p(x)q(x))r(x) = p(x)(q(x)r(x))) (assoziatives Gesetz)
• (p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x)) (assoziatives Gesetz)
• p(x)q(x) = q(x)p(x) (Kommutativgesetz)
• p(x) + q(x) = q(x) + p(x) (Kommutativgesetz)
• p(x)(q(x)+r(x)) = p(x)q(x) + p(x)r(x) (Verteilungsgesetz)
• c(p(x)q(x))) = (cp(x))q(x)

In vielen Fällen kann ein Polynom ungleich Null mit einer beliebigen Konstante ungleich Null multipliziert werden und dennoch dem gleichen Zweck dienen. Es ist üblich, das Polynom mit dem Koeffizienten seines höchstgradigen Ausdrucks gleich 1 zu verwenden, ein solches Polynom wird als monisches Polynom bezeichnet. Das Produkt aus zwei monischen Polynomen ist monisch. Wenn ein monisches Polynom in das Produkt von zwei oder mehr nicht konstanten Polynomen einfließen kann, dann gibt es eine Faktorisierung, bei der alle Faktoren monisch sind.

2. Abteilung

Das Produkt aus zwei Polynomen ungleich Null ist offensichtlich ungleich Null (und sein Grad ist die Summe der Grade der Faktoren), eine Eigenschaft, die die Polynome mit den ganzen Zahlen gemeinsam haben. Tatsächlich haben die Polynome über einem Feld viele Eigenschaften, die denen der ganzen Zahlen ähnlich sind.

Der Teilungsalgorithmus für Polynome lautet wie folgt.

Satz 2.1 p(x) (die Dividende) und d(x) (der Divisor) sollen Polynome über das gleiche Feld sein, wobei d(x) nicht konstant ist. Dann gibt es eindeutige Polynome q(x) (der Quotient) und r(x) (der Rest) über das gleiche Feld, so dass p(x) = q(x) d(x) + r(x) + r(x) und r(x) Null oder von niedrigerem Grad als d(x) ist.

Beweis. Wir verwenden ein Induktionsargument, das auf eine lange Division hinausläuft. Wenn p(x) Null ist oder der Grad von p(x) kleiner als der von d(x) ist, dann ist q(x) Null und r(x) ist p(x). In anderen Fällen sollte m der Grad von d(x), n der Grad von p(x) und Schreiben sein:

d(x) = dm x m + t(x),
p(x) = pn x n + s(x),

wobei t(x) und s(x) Polynome von weniger als m bzw. n Grad sind (oder vielleicht Null-Polynome).

Dann durch induktive Hypothese,

s(x) – (pn/dm) x n-m t(x) = u(x) d(x) + r(x),

wobei r(x) Null oder ein Grad kleiner als m ist.

Dann ist die erforderliche Zersetzung

p(x) = ((pn/dm) x n-m + u(x))) d(x) + r(x).

Nehmen wir an, wir haben zwei Zerlegungen:

p(x) = q(x) d(x) + r(x),
p(x) = q'(x) d(x) + r'(x).

Subtrahiere diese beiden Gleichungen, um zu erhalten:

0 = (q(x) – q'(x))) d(x) + r(x) – r'(x),
(q(x) – q'(x)) d(x) = r'(x) – r(x).

Wenn q(x) – q'(x) ungleich Null wären, wäre der Grad des linken Elements größer als der Grad des rechten Elements. Daher q(x) = q'(x) und eindeutig r(x) = r'(x), so dass die Zerlegung eindeutig ist. ?

Der Teilungsalgorithmus könnte auf Fälle ausgedehnt werden, in denen der Divisor ein ungleich Null konstantes Polynom ist, aber es wäre eher trivial; der Rest wäre immer Null.

Das Polynom p(x) soll durch das ungleiche Polynom d(x) teilbar sein, oder d(x) soll p(x) teilen, oder d(x) soll ein Teiler von p(x) sein, wenn p(x) = q(x)d(x) mit Rest Null. Viele der Eigenschaften der Teilbarkeit für ganze Zahlen gelten auch für Polynome. Wenn beispielsweise zwei oder mehr Polynome durch d(x) teilbar sind, dann sind ihre Summe und ihr Produkt auch durch d(x) teilbar.

Die folgenden beiden Theoreme, genannt Restsatz und Faktorsatz, sind unmittelbare Folgen des Teilungsalgorithmus.

Satz 2.2 Wenn ein Polynom p(x) durch das lineare Polynom x-a geteilt wird, ist der Rest p(a).

Beweis. Durch den Divisionsalgorithmus, p(x) = q(x)(x-a) + r für einige konstante r. Substitution von a für x ergibt p(a) = r. ?

Folgerung 2.3 Das Polynom p(x) ist durch x-a teilbar, wenn, und nur wenn, p(a) = 0.

Der größte gemeinsame Divisor von zwei Polynomen ungleich Null ist ein gemeinsamer Divisor, der durch jeden anderen gemeinsamen Divisor teilbar ist. Es ist offensichtlich in den meisten Fällen nicht eindeutig, aber es gibt einen einzigartigen monischen größten gemeinsamen Divisor, der oft als gcd(p(x),q(x)) geschrieben wird.

Das folgende Theorem ist der euklidische Algorithmus für Polynome. Es zeigt, dass zwei Polynome ungleich Null einen größten gemeinsamen Divisor haben, und es zeigt auch eine praktische Möglichkeit, ihn zu berechnen.

Satz 2.4 p(x) und q(x) sollen zwei ungleiche Polynome über das gleiche Feld sein. Dann haben sie einen monischen größten gemeinsamen Teiler g(x), und es gibt Polynome s(x) und t(x), so dass

s(x) p(x) + t(x) q(x) = g(x).

Beweis. Natürlich können die Polynominale immer skaliert (mit einer Konstante ungleich Null multipliziert) werden, so dass g(x) monisch ist.

Wenn ein Polynom das andere teilt, ist das Ergebnis offensichtlich. Der Divisor ist auch der größte gemeinsame Divisor, und s(x) und t(x) sind 0 und 1.

Der Rest des Nachweises erfolgt durch Induktion auf die Summe der Grade von p(x) und q(x). Wenn die Summe 0 oder 1 ist, teilt das eine das andere.

In anderen Fällen ordnen Sie die Polynome so an, dass der Grad von p(x) den Grad von q(x) nicht überschreitet, und verwenden Sie den Divison-Algorithmus, um q(x) wie folgt zu zerlegen:

q(x) = u(x) p(x) + r(x),

wobei r(x) Null oder ein Grad kleiner als der Grad von p(x) ist.

Da p(x) q(x) nicht teilt, muss r(x) ungleich Null sein.

Jeder gemeinsame Divisor von p(x) und q(x) ist auch ein gemeinsamer Divisor von p(x) und r(x), und umgekehrt. Daher ist der größte gemeinsame Divisor, wenn überhaupt, in jedem Fall derselbe. Durch induktive Hypothese haben p(x) und r(x) einen monischen größten gemeinsamen Divisor g(x), der auch der monische größte gemeinsame Divisor von p(x) und q(x) ist, und es gibt Polynome v(x) und w(x), so dass

g(x) = v(x) p(x) + w(x) r(x).

Aber r(x) = q(x) – u(x) p(x), also

g(x) = v(x) p(x) + w(x) (q(x) – u(x) p(x)) = (v(x) – u(x)) p(x) + w(x) q(x),

was das gewünschte Ergebnis ist. ?

Zwei Polynome sind relativ primär, wenn ihr monischer größter gemeinsamer Teiler 1 ist.

Die modulare Arithmetik auf Polynomen ist auch der modularen Arithmetik auf ganzen Zahlen sehr ähnlich.

M(x) soll ein Polynom ungleich Null sein. Dann sind zwei Polynome p(x) und q(x) (über das gleiche Feld) in Bezug auf den Modul M(x) deckungsgleich, wenn ihre Differenz p(x) – q(x) durch M(x) teilbar ist. Es lässt sich leicht nachweisen, dass die Kongruenz eine Äquivalenzbeziehung ist und dass Summen, Unterschiede und Produkte von kongruenten Polynomen (bezogen auf den gleichen Modul) kongruent sind.

3. Irreduzible Polynome

Ein Polynom p(x) ist irreduzibel oder prime, wenn es nicht konstant ist und nicht durch ein nicht konstantes Polynom niedrigeren Grades teilbar ist. Es ist reduzierbar, wenn es in zwei (oder mehr) nicht konstante Polynome eingeordnet werden kann.

Es ist klar, dass alle nicht konstanten linearen Polynome irreduzibel sind.

Die irreduziblen Polynome haben viele Eigenschaften, die denen der Primzahlen entsprechen. So ist beispielsweise jedes nicht konstante Polynom entweder irreduzibel oder ein Produkt aus irreduziblen Polynomen.

Satz 3.2 Wenn das Produkt v(x)w(x) von zwei Polynomen durch ein irreduzibles Polynom p(x) teilbar ist, ist das entweder v(x) oder w(x) (oder beides) durch p(x) teilbar.

Beweis. Nehmen wir zum Zwecke des Widerspruchs an, dass p(x) weder v(x) noch w(x) teilt. Dann ist der monische größte gemeinsame Teiler von p(x) und v(x) 1, so dass es nach Theorem 2.4 die Polynome s(x) und t(x) gibt, so dass

1 = s(x) p(x) + t(x) v(x).

Ebenso gibt es die Polynome e(x) und f(x), so dass

1 = e(x) p(x) + f(x) w(x).

Die Multiplikation dieser beiden Gleichungen ergibt folgendes Bild

1 = s(x) p(x) e(x) p(x) + s(x) p(x) f(x) w(x) + t(x) v(x) v(x) e(x) p(x) + t(x) f(x) v(x) w(x) w(x).

Das linke Element ist nicht durch p(x) teilbar, aber jeder Begriff im rechten Element ist durch p(x) teilbar, was der gewünschte Widerspruch ist. ?

Folgerung 3.3 Wenn ein irreduzibles Polynom das Produkt aus einer beliebigen Anzahl von Polynomen teilt, muss es mindestens einen Faktor teilen.

Der folgende Satz ist analog zum Grundsatz der Arithmetik. Es wird jedoch nicht als der grundlegende Satz des Polynoms bezeichnet!

Satz 3.4 Jedes monische nicht-konstante Polynom kann in monische irreduzible Polynome in einer Weise eingearbeitet werden, die abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren einzigartig ist.

Beweis. Der Nachweis erfolgt durch Induktion über den Grad des Polynoms. Ein lineares Polynom ist irreduzibel, so dass seine Faktorisierung trivial ist.

In anderen Fällen, wenn das Polynom irreduzibel ist, ist seine Faktorisierung trivial. Andernfalls kann es in zwei monische Polynome niedrigeren Grades eingearbeitet werden, von denen jedes monische irreduzible Faktoren durch die induktive Hypothese aufweist. Daher hat das ursprüngliche Polynom monische irreduzible Faktoren.

Um die Einzigartigkeit zu beweisen, nehmen wir an, dass ein einzelnes Polynom zwei Faktorisierungen in monische, irreduzible Polynome aufweist:

p1(x) p2(x) …. pn(x) = q1(x) q2(x) …. qm(x)

Wir beweisen durch Induktion auf die Anzahl n von Polynomen im linken Element, dass m = n und das rechte Element die gleichen Polynome enthält, vielleicht in einer anderen Reihenfolge.

Wenn n = 1 ist, dann

p1(x) = q1(x) q2(x) …. qm(x)

Da p1(x) irreduzibel ist, m = 1 und und q1(x) = p1(x).

Wenn n > 1, dann teilt p1(x) das linke Element, also muss es auch das rechte Element teilen. Durch die Begleiterscheinung 3.3 teilt p1(x) eines der Polynome im rechten Element. Da das Polynom irreduzibel ist, muss es gleich p1(x) sein. Ordnen Sie das rechte Element neu an, so dass dieses Polynom an erster Stelle steht, und teilen Sie beide Seiten durch p1(x), um Folgendes zu erhalten

p2(x) p3(x) …. pn(x) = q2(x) q3(x) …. qm(x)

Durch induktive Hypothese enthalten die beiden Seiten die gleichen Polynome, vielleicht in unterschiedlicher Reihenfolge. Damit ist der Beweis abgeschlossen. ?

4. Wurzeln

Wenn p(x) ein Polynom über einem Feld ist, dann wird ein Feldelement r, so dass p(r) = 0 als Wurzel (oder Null) von p(x) bezeichnet. Folgerung 2.3 besagt, dass r eine Wurzel aus p(x) ist, wenn und nur wenn p(x) durch x-r teilbar ist.

Wenn p(x) als p(x) = s(x) t(x) berücksichtigt werden kann, dann sind die Wurzeln von p(x), falls vorhanden, die der Faktoren s(x) und t(x).

Satz 4.1 Ein ungleich Null-Polynom des Grades n kann nicht mehr als n Wurzeln haben.

Beweis. Dies lässt sich leicht durch Induktion auf n zeigen. Ein ungleich konstantes Polynom (von Grad 0) hat offensichtlich keine Wurzeln, und ein Polynom von Grad 1 hat offensichtlich eine Wurzel.

Wenn r eine Wurzel des Polynoms p(x) mit dem Grad n+1 ist, dann ist p(x) = q(x) (x-r), wobei der Grad von q(x) n ist. Jede andere Wurzel von p(x) muss eine Wurzel von q(x) sein, die durch induktive Hypothese nicht mehr als n Wurzeln haben kann. Somit hat p(x) höchstens n+1 Wurzeln. ?

Folgerung 4.2 Ein Polynom, das Null oder von nicht größer als n mit mehr als n Wurzeln ist, muss das Null-Polynom sein (wenn ähnliche Begriffe kombiniert werden).

Folgerung 4.3 Zwei Polynome, die Null oder von nicht größer als n sind und an mehr als n Stellen übereinstimmen, müssen identisch sein (wenn gleiche Begriffe kombiniert werden).

Folgerung 4.4 Zwei Polynome über einem unendlichen Feld, die die gleiche Funktion definieren, müssen identisch sein (wenn gleiche Begriffe kombiniert werden).

Ein ungleich Null-Polynom des Grades n kann weniger als n Wurzeln haben. Zum Beispiel hat das Polynom (x-1) 2 nur eine Wurzel, obwohl in diesem Fall manchmal gesagt wird, dass die beiden Wurzeln gleich sind oder dass die Wurzel eine Doppelwurzel ist.

Wenn r eine Wurzel des ungleich Null-Polynoms p(x) ist, dann ist der Grad (oder die Vielzahl) der Wurzel der höchste Wert von k, so dass (x-r) k p(x) teilt.

Es lässt sich leicht nachweisen, dass die Summe der Multiplikitäten der Wurzeln eines Polynoms ungleich Null den Grad des Polynoms nicht überschreiten kann.

5. Feldverlängerungen

Ein nichtlineares Polynom kann keine Wurzeln in dem Feld haben, aus dem seine Koeffizienten stammen, aber es scheint, dass ein solches Polynom in einigen Fällen eine Wurzel in einem größeren Feld haben kann. Zum Beispiel hat x 2 – 2 keine Wurzeln im Bereich der rationalen Zahlen, aber es hat zwei Wurzeln im Bereich der realen Zahlen. Ebenso hat x 2 + 1 keine Wurzeln im Bereich der reellen Zahlen, aber es hat zwei Wurzeln im Bereich der komplexen Zahlen.

Wenn F ein Feld ist, dann ist eine Erweiterung von F ein Feld, das F (oder ein Feld isomorph zu F) als Unterfeld enthält. So ist beispielsweise das Feld für komplexe Zahlen eine Erweiterung des Feldes für reelle Zahlen.

Ein nichtlineares irreduzibles Polynom kann jederzeit durch eine Feldverlängerung reduzierbar gemacht werden. Dies kann auf verschiedene (äquivalente) Arten geschehen, aber die einfachste ist der Prozess der Anlagerung an eine Wurzel. Es ist eine Verallgemeinerung des Prozesses, durch den das Feld der komplexen Zahlen konstruiert wird, indem man sich an eine Wurzel aus x 2 + 1 anschließt.

Sei p(x) ein irreduzibles Polynom von mehr als 1 Grad mit Koeffizienten im Feld F. Das vorgeschlagene Erweiterungsfeld ist der Satz von Polynomen über F von weniger als dem von p(x), zusammen mit dem Nullpolynom. Die Addition in diesem Feld ist wie üblich definiert, aber die Multiplikation erfolgt modulo p(x); d.h. wenn s(x) und t(x) sich im Erweiterungsfeld befinden, dann ist ihr Produkt der Rest, wenn s(x) t(x) (auf übliche Weise berechnet) durch p(x) dividiert wird. Es ist ziemlich einfach, mit Hilfe des Divison-Algorithmus zu zeigen, dass die auf diese Weise definierte Addition und Multiplikation allen Feldaxiomen gehorcht, mit Ausnahme der Existenz einer multiplikativen Inverse für nicht-konstante Polynome. Um zu beweisen, dass jedes nicht konstante Polynom s(x) eine Umkehrung aufweist, verwenden wir den euklidischen Algorithmus, um die Polynome u(x) und v(x) so zu finden, dass

u(x) s(x) + v(x) p(x) = 1,
u(x) s(x) = (-v(x)) p(x) + 1.

Wenn der Grad von u(x) kleiner als der von p(x) ist, ist es der erforderliche Umkehrschluss. Andernfalls verwenden Sie den Teilungsalgorithmus, um die Polynome q(x) und r(x) so zu finden, dass

u(x) = q(x) p(x) + r(x),

wobei der Grad von r(x) kleiner als der von p(x) ist. Dann zeigt eine einfache Substitution, dass r(x) der erforderliche Umkehrschluss ist.

(q(x) p(x) + r(x)) s(x) = (-v(x))) p(x) + 1,
r(x) s(x) = (-v(x) – q(x))) p(x) + 1.

Die konstanten Polynome bilden ein Teilfeld, das isomorph zu F ist.

Außerdem ist das lineare Polynom z(x) = x eine Wurzel aus p(x) in diesem Feld. Somit ist p(x) im erweiterten Feld durch x – z teilbar und somit nicht mehr irreduzibel.

Das so konstruierte Erweiterungsfeld ist ebenfalls minimal, in dem Sinne, dass kein geeignetes Unterfeld F und auch eine Wurzel aus p(x) enthalten kann. Darüber hinaus ist es bis zum Isomorphismus einzigartig, d.h. es ist bis zu einer anderen minimalen Erweiterung isomorph, und der Isomorphismus bildet jedes Element des ursprünglichen Feldes auf sich selbst ab. Der erforderliche Isomorphismus ist das Mapping, das das Polynom u(x) in den Wert u(z) trägt, wobei z die konstruierte Wurzel ist.

Wenn das Polynom im erweiterten Feld berücksichtigt wird, kann es nichtlineare, irreduzible Faktoren aufweisen. Wir können die gleiche Technik verwenden, um das Feld weiter zu erweitern, so dass auch sie reduzierbar sind.

Der Prozess muss stoppen, wenn ein Erweiterungsfeld gefunden wird, in dem p(x) in lineare Faktoren einfließen kann. Dies wird als Splitting-Feld des Polynoms bezeichnet. Jedes nicht konstante Polynom hat mindestens eines. (Wenn das Polynom nicht irreduzibel ist, wird es vor Beginn des Prozesses der benachbarten Wurzeln berücksichtigt. Das Teilungsfeld eines linearen Polynoms, oder eines, das bereits in lineare Faktoren einfließen kann, ist das ursprüngliche Feld.) Das minimale Teilungsfeld eines Polynoms ist einzigartig, bis hin zum Isomorphismus, und der Isomorphismus bildet jedes Element des ursprünglichen Feldes auf sich selbst ab.

Die Summe der Multiplikitäten der Wurzeln eines nicht konstanten Polynoms in seinem Spaltfeld ist gleich dem Grad des Polynoms.

Ein weiteres Merkmal von Feldverlängerungen, ob sie nun durch benachbarte Wurzeln erhalten werden oder nicht, ist auf den ersten Blick etwas überraschend. Der größte gemeinsame Teiler von zwei Polynomen wird durch die Erweiterung des Feldes nicht beeinflusst, auch wenn jedes Polynom zusätzliche Teiler erwerben kann. Aus dem euklidischen Algorithmus ist jedoch ersichtlich, dass dies so ist – der Prozess, bei dem der größte gemeinsame Divisor gefunden wird, beinhaltet nur Operationen mit den ursprünglichen Polynomkoeffizienten und kann nicht in eine Erweiterung wandern. Insbesondere zwei Polynome, die relativ primär sind, bleiben dies auch bei einer Erweiterung des Feldes. Der Umkehrschluss, dass zwei Polynome, die nicht relativ primär sind, so bleiben, wenn das Feld erweitert wird, ist ziemlich offensichtlich.

Satz 5.1 Sei ein Element einer Erweiterung des Feldes F, das eine Wurzel eines Polynoms ungleich Null über F ist, aber ein ∉ F. Dann gibt es ein einzigartiges monisches, irreduzibles Polynom über F, das eine Wurzel hat, und jedes Polynom über F, das eine Wurzel hat, ist durch dieses einzigartige Polynom teilbar.

Beweis. Durch die Berücksichtigung des Polynoms, dessen a eine Wurzel ist, können wir zeigen, dass a eine Wurzel aus mindestens einem monischen, irreduziblen Polynom p(x) über F ist. Nehmen wir zum Zwecke des Widerspruchs an, dass es auch eine Wurzel aus einem anderen Polynom q(x) über F ist, das nicht durch p(x) teilbar ist. Da p(x) irreduzibel ist, sind die beiden Polynome relativ primär, und durch den euklidischen Algorithmus gibt es die Polynome r(x) und s(x) über F, so dass

r(x)p(x) + s(x)q(x) = 1.

Die Ersetzung von a für x ergibt 0 = 1, was der gewünschte Widerspruch ist.

Die Einzigartigkeit von p(x) ist ziemlich offensichtlich. Jedes andere monische irreduzible Polynom über F mit a als Wurzel müsste durch p(x) teilbar sein, was nur möglich ist, wenn es identisch mit p(x) ist. ?

6. Derivate

Wir können keine Derivate von Polynomen im üblichen Sinne nehmen, wenn das Feld diskret ist. Wir können jedoch ein formales Derivat mit Hilfe der Formeln aus der regulären Differenzierung definieren:

p(x) = pn x n + pn-1 x n-1 x n-1 + ….. + p1 x + p0,
p'(x) = n pn x n n-1 + (n-1) pn-1 x n-2 + ….. + 2 p2 x + p1.

Es ist zu beachten, dass die Multiplikation mit den ganzen Zahlen 2, 3, …., n-1, n-1, n als wiederholte Addition definiert ist. Die ganzen Zahlen selbst sind möglicherweise nicht Teil des Feldes, so dass eine reguläre Feldmultiplikation nicht verwendet werden kann.

Die formale Differenzierung hat die meisten Eigenschaften der regelmäßigen Differenzierung:

• (p(x) + q(x)))‘ = p'(x) + q'(x)
• (c p(x))‘ = c p'(x)
• (p(x) q(x)))‘ = p'(x) q(x) + p(x) q'(x)

Einige andere Eigenschaften der regelmäßigen Differenzierung sind nicht erhalten. So unterscheiden sich beispielsweise Polynome mit der gleichen Ableitung nicht unbedingt durch eine Konstante; z.B. in einem Feld der Charakteristik 2 haben x 2 und 0 die gleiche Ableitung.

Ein nicht konstantes Polynom wird als trennbar bezeichnet, wenn seine Wurzeln (in seinem Spaltfeld) alle unterschiedlich sind.

Ein nicht konstantes lineares Polynom ist offensichtlich trennbar. Die folgenden Ergebnisse sind für lineare Polynome trivial.

Theorem 6.1 Ein nicht-konstantes Polynom ist trennbar, wenn und nur wenn es und seine Ableitung relativ primär sind.

Beweis. Es geht keine Allgemeingültigkeit verloren, wenn man davon ausgeht, dass das Polynom monisch ist.

Im Splitting-Feld können wir das Polynom wie folgt schreiben (x – r1)(x – r2) ….. (x – rn), wobei r1, r2, …., rn seine Wurzeln sind, die so angeordnet sind, dass mehrere Wurzeln, falls vorhanden, zuerst kommen.

Wenn das Polynom mehrere Wurzeln hat, kann es als (x – r1) 2 q(x) geschrieben werden, und seine Ableitung ist 2 (x – r1) q(x) + (x – r1) 2 q'(x), was nicht relativ primär zum ursprünglichen Polynom im Teilungsfeld ist, da beide durch x – r1 teilbar sind. Daher ist es auch nicht relativ primär zum ursprünglichen Polynom im ursprünglichen Feld.

Wenn die Wurzeln unterschiedlich sind, dann (x – r1)(x – r2)…. (x – rn) ist seine Zerlegung in irreduzible Faktoren.

Berücksichtigen Sie jeden Faktor x – ri. Das Polynom kann als (x – ri) s(x) geschrieben werden, wobei x – ri s(x) nicht teilt. Seine Ableitung ist s(x) + (x – ri) s'(x), die nicht durch x – ri teilbar ist. Da keiner der Faktoren des ursprünglichen Polynoms seine Ableitung teilt, sind das Polynom und seine Ableitung relativ primär. ?

Folgerung 6.2 Ein irreduzibles Polynom ist trennbar.

Folgerung 6.3 Ein nichtkonstanter Teiler eines teilbaren Polynoms ist teilbar.

7. Polynome in zwei oder mehr Variablen

Ein Polynom in zwei oder mehr unabhängigen Variablen kann definiert werden als eine lineare Kombination aus einer endlichen Anzahl von Produkten von Potenzen der unabhängigen Variablen.

Das folgende Ergebnis für zwei Variablen ist das bekannte Binomialtheorem.

Satz 7.1 Wenn gleichartige Begriffe zusammengetragen werden, ist das Produkt (x+y) n

C(n,0) x n + C(n,1) x n-1y + C(n,2) x n-2y 2 + ….. + C(n,n-2) x 2y n-2 + C(n,n-1) xy n-1 + C(n,n) y n.

wobei der Binomialkoeffizient C(n,k) gegeben ist durch

n (n-1) (n-2) ….. (n-k+1)
C(n,k) = —————————————————–,
(1) (2) … k

C(n,0) = C(n,n) = 1, und alle Koeffizienten sind ganze Zahlen.

Beweis. Der Nachweis erfolgt durch Induktion auf n. Für n=1 ist das Ergebnis offensichtlich.

Wir nehmen dann das Theorem für einen bestimmten Wert von n an und multiplizieren die erweiterte Form mit x+y, um die erweiterte Form von (x+y) n+1 zu erhalten.

Der Koeffizient von x n+1-ky k im Produkt ist C(n,k) + C(n,k-1), außer wenn k=0 oder k=n+1. Die Standardmanipulation von Brüchen zeigt, dass dies C(n+1,k) ist, und es ist eine ganze Zahl, weil es die Summe von zwei ganzen Zahlen ist. Der erste und letzte Koeffizient können separat überprüft werden. ?

Eine bemerkenswerte Eigenschaft der Binomialkoeffizienten ist, dass alle außer dem ersten und letzten durch n teilbar sind, wenn n prime ist.

Eine weitere Eigenschaft von rationalen und realen Polynomen ist nützlich für den schnellen Nachweis einer Reihe von polynomialen Identitäten. Betrachten Sie zwei rationale oder reale Polynome, die für alle Werte in einem Intervall[a,b] übereinstimmen, wobei a < b:

p(x) = q(x) für ein ≤ x ≤ b.

Das Intervall enthält eine unendliche Anzahl von Werten, so dass Corollary 4.3 zeigt, dass p(x) und q(x) identisch sein müssen, wenn gleichartige Begriffe kombiniert werden (und sie müssen auch im gleichen Maße sein).

Dies kann leicht auf rationale oder reale Polynome von zwei oder mehr Variablen durch Induktion auf die Anzahl der Variablen erweitert werden.

Angenommen

p(x1,x2,….,xn) = q(x1,x2,….,xn) für a1 ≤ x1 ≤ ≤ b1, a2 ≤ x2 ≤ b2, …., an ≤ xn ≤ bn.

Durch geeignete algebraische Manipulationen kann jedes Polynom in einer Variablen xn mit Koeffizienten als Polynome in den anderen Variablen in ein Polynom umgewandelt werden. So kann beispielsweise das Polynom xyz + xz + xz + x in (xy + x) z + x umgewandelt werden, das ein Polynom in der Variablen z mit Koeffizienten als Polynome in x und y ist.

Dann zeigt das Ergebnis für eine Variable, dass der jeweilige Koeffizient in einem Polynom gleich dem entsprechenden Koeffizienten in dem anderen Polynom für alle Werte der unabhängigen Variablen in ihren jeweiligen Bereichen ist. Durch induktive Hypothese sind sie identisch, wenn gleiche Begriffe kombiniert werden. Dadurch wird das Ergebnis für n Variablen extablisiert.

Offensichtlich gilt ein ähnliches Ergebnis für komplexe Polynome, obwohl in diesem Fall die variablen Bereiche zweidimensional sind.

Betrachten wir nun die polynomiale Identität.

(p(x) q(x)))‘ = p'(x) q(x) + p(x) q'(x)

Die beiden Elemente sind für alle Werte der unabhängigen Variablen und alle Werte der Koeffizienten gleich, zumindest wenn es sich um reale Polynome handelt. Interpretieren Sie nun jede Seite der Identität als Polynom in x und den Koeffizienten von p(x) und q(x). Da die Identität als Gleichung für alle Werte aller unabhängigen Variablen gilt, müssen die beiden Seiten identisch sein, wenn gleiche Begriffe kombiniert werden.

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