Gruppen

Original: http://www.efgh.com/math/algebra/groups.htm von Philip J. Erdelsky

1. Definition und elementare Eigenschaften

Eine Gruppe ist eine Gruppe G und eine binäre Operation mit den folgenden Eigenschaften:

Die Operation ist assoziativ, d.h. (ab)c = a(bc) für alle a, b und c ∈ G.
Es gibt ein spezielles Element e von G, das eine linke Identität genannt wird, so dass ea = a für alle ein ∈ G. (Das bedeutet, dass eine Gruppe mindestens ein Element haben muss.)
Jedes a ∈ G hat eine linke Umkehrung a -1, so dass a -1a = e.

Ein Satz gilt als eine Gruppe unter einem bestimmten Vorgang, wenn der Vorgang diesen Bedingungen entspricht. Beispielsweise sind die Ganzzahlen Z eine Gruppe unter Addition, aber nicht unter Multiplikation (da für die meisten Ganzzahlen keine Linksinverse existieren).

Die Assoziativität kann leicht auf Operationen mit vier oder mehr Elementen erweitert werden. Zum Beispiel,

(ab)(cd) = a(b(cd)) = a((bc)d).

Die Operation ist nicht unbedingt kommutativ. Wir können jedoch nachweisen, dass die Operationen in den Eigenschaften (2) und (3) kommutativ sind, so dass jede linke Identität auch eine rechte Identität ist und jede linke Inverse auch eine rechte Inverse.

Satz 1.1. Jedes Element in einer Gruppe G pendelt mit seinem linken Inversen, d.h. aa -1 = e für jedes a ∈ G.

Beweis. Laß (a -1) -1 das linke Gegenteil von a -1 sein. Dann (a -1) -1a -1a -1 = e.

Berücksichtigen Sie (a -1) -1a -1a -1aa -1aa -1. Wir verbinden es auf zwei Arten:

(a -1) -1a -1a -1aa -1= ((a -1) -1a -1a -1)(aa -1) = e(aa -1) = aa -1,
(a -1) -1a -1a -1aa -1= (a -1) -1((a -1a)a -1) = (a -1) -1(ea -1) = (a -1) -1a -1 -1a -1 = e,

und das gewünschte Ergebnis folgt. ?

Satz 1.2. Jedes Element in einer Gruppe G pendelt mit der Identität, d.h. ae = a für jedes a ∈ G.

Beweis. Dies lässt sich leicht durch die Verwendung von Assoziativität und dem vorherigen Satz belegen:

ae = a(a -1a) = (aa -1)a = ea = a.

Da es keinen Unterschied zwischen linken und rechten Identitäten und Inversen gibt, werden sie einfach Identitäten und Inversen genannt.

Satz 1.3. Eine Gruppe hat nur eine Identität und jedes Element hat nur eine Umkehrung.

Beweis. Lasst uns eine Identität sein. Dann ist fe = e. Aber fe = f, weil die linke Identität e auch eine rechte Identität ist. Daher f=e.

Lassen Sie b ein Umkehrpunkt für a sein. Dann ba = e. Postmultiplikation mit a -1 ergibt

(ba)a -1 = ea -1,
b(aa -1) = a -1,
ist = a -1,
b = a -1.

Die Identität ist ihr eigener Umkehrschluss. Sie ist in dieser Hinsicht jedoch möglicherweise nicht einzigartig. Beispielsweise ist die Menge aller reellen Zahlen ungleich Null eine Gruppe unter Multiplikation. Die Identität 1 ist ihr eigener Umkehrschluss, aber auch -1.

Wenn eine Gruppe nur eine begrenzte Anzahl von Elementen enthält, wird die Anzahl der Elemente als Reihenfolge der Gruppe bezeichnet.

Zwei Gruppen G und H sind isomorph, wenn es eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz gibt f: G ⟶ H, die den Gruppenbetrieb bewahrt, d.h. für jedes a und b ∈ G, f(ab) = f(a)f(b).

Eine solche Funktion wird als Isomorphismus bezeichnet. Obwohl ein Isomorphismus erforderlich ist, um nur die Gruppenoperation zu erhalten, ist es ziemlich einfach zu beweisen, dass er auch die Identität bewahrt und umgekehrt:

f(e) = e.
f(a -1) = f(a) -1.

Natürlich bezieht sich in f(e) = e das erste e auf die Identität der ersten Gruppe und das zweite e auf die Identität der zweiten Gruppe.

Es gibt viele Beispiele für Gruppen. Die Menge der reellen Zahlen ist eine Gruppe unter Addition, aber nicht unter Multiplikation, da Null keine Umkehrung hat. Die Menge {0, 1, …., N-1} ist eine Gruppe unter Zusatz modulo N. Die Menge aller Permutationen einer Menge ist eine Gruppe unter Zusammensetzung. Wenn die Menge n Elemente hat, wird die Gruppe als symmetrische Gruppe bezeichnet und wird normalerweise durch Sn dargestellt.

2. Untergruppen

Eine Teilmenge H einer Gruppe G wird als Untergruppe bezeichnet, wenn es sich um eine Gruppe mit der gleichen binären Operation handelt, was der Fall ist, wenn

• H wird unter dem Gruppenbetrieb geschlossen, d.h. wenn ein ∈ H und b ∈ H dann ab ∈ H;
• wenn ein ∈ H dann ein -1 ∈ H; und
• Die Gruppenidentität e ∈ H. (Dies lässt sich aus den ersten beiden Bedingungen ableiten, wenn H nicht leer ist.)

Die kleinste Untergruppe enthält nur das Identitätselement, die größte ist die Gruppe selbst.

In jeder Gruppe können wir eine Operation analog zur Potenzierung in der gewöhnlichen Arithmetik definieren. Sei a ein Gruppenelement und n eine positive ganze Zahl. Dann definieren Sie

a n = aaa….a (n mal wiederholt),
a 0 = e,
a -n = (a n) -1.

Es ist leicht zu zeigen, dass diese Operation den folgenden Regeln der Potenzierung entspricht, wobei m und n beliebige ganze Zahlen sind:

a m+n = a ma n,
a mn = (a m) n n

Der Satz aller Potenzen eines Gruppenelements a ist eine Untergruppe, die als Untergruppe bezeichnet wird, die von a.

Satz 2.1. Die von einem Element einer Gruppe erzeugte Untergruppe ist isomorph zu den ganzen Zahlen Z unter Addition oder zu {0, 1, ….., r-1} unter Addition modulo r für einige positive ganze Zahlen r, die als Ordnung des Elements bezeichnet wird.

Beweis. Wenn das Element die Identität ist, ist das Ergebnis offensichtlich und seine Reihenfolge ist 1.

Wenn die Kräfte von a alle unterschiedlich sind, dann ist H isomorph zu Z, wo die Isomorphie f : Z ⟶ H definiert ist durch

f(n) = a n.

Wenn die Potenzen von a nicht alle verschieden sind, dann lassen Sie m und n zwei ganze Zahlen sein, mit m < n und

a m = a n.

Dann multipliziere es mit einem -m, um es zu erhalten:

e = ein n-m.

Lassen Sie r die kleinste positive ganze Zahl sein, so dass

a r = e.

Durch den Divisionsalgorithmus, n = rq + s für eine beliebige ganze Zahl n, wobei 0 <= s << r. Daher

a n = a rqa s = (a r) qa s = e qa s = a s.

Somit bilden {e, a, a, a, 2, ….., a r-1} die gesamte Untergruppe. Diese Elemente sind alle unterschiedlich; nehmen Sie zum Zwecke des Widerspruchs an, dass

a m = a n n
0 <= m < n < n < r.

Dann

a n-m = e,

was unmöglich ist, weil n-m kleiner als r ist.

Es ist ziemlich einfach zu zeigen, dass {e, a, a, a 2, …., a r-1} eine Untergruppe isomorph zu {0, 1, …., r-1} unter Zusatz modulo r sind. ? ?

Für endliche Gruppen gibt der folgende Satz, genannt Lagrange’s Theorem, eine einfache Beziehung zwischen der Ordnung der Gruppe und den Ordnungen ihrer Untergruppen.

Satz 2.2. Die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe teilt die Ordnung der Gruppe.

Beweis. Sei H eine Untergruppe der endlichen Gruppe G. Für jedes a ∈ G ist der Koset von H in Bezug auf a {ax | x ∈ H}, den wir coset(a) nennen werden.

Die Vereinigung aller Cosets ist G, da jedes a ∈ G zu coset(a) gehört.

Ein Element von coset(a) kann als ax für nur einen Wert von x in H ausgedrückt werden; denn wenn ax = ay dann ein -1ax = a -1ay, ex = ey und x = y. Daher enthält jeder coset die gleiche Anzahl von Elementen wie H. (Beachten Sie, dass H selbst coset(e) ist.)

Angenommen, coset(a) und coset(b) haben ein gemeinsames Element. Dann ax = by für einige x und y ∈ H. Dann ist jedes andere Element az ∈ coset(a) auch in coset(b) weil

az = axx -1z = byx -1z = byx -1z

und yx -1z ist in H. Ebenso ist jedes Element von coset(b) auch in coset(a), und die beiden cosets sind identisch.

Daher ist die Anzahl der Elemente in G das Produkt aus der Anzahl der Elemente in H (oder einer anderen Coset) und der Anzahl der Cosets. ?

Folgerung 2.3. Die Ordnung eines Elements einer endlichen Gruppe teilt die Ordnung der Gruppe.

Folgerung 2.4. Wenn die Ordnung einer endlichen Gruppe eine Primzahl p ist, dann ist die Gruppe isomorph zu Zp.

3. Klassifizierung endlicher Gruppen

Die Klassifizierung von endlichen Gruppen ist ein großes und interessantes Thema in der Mathematik. Gruppen, die isomorph zueinander sind, werden nicht als unterschiedlich angesehen, so dass wir oft von isomorphen Gruppen als gleichartig sprechen werden. Wenn Gruppen mit einer bestimmten Eigenschaft alle isomorph zueinander sind, sprechen wir von der Gruppe mit dieser Eigenschaft.

Eine Gruppe, die isomorph zu Zn ist (die ganzen Zahlen {0, 1, ….., n-1} unter Zusatz modulo n), wird die zyklische Gruppe der Ordnung n genannt und oft als Cn geschrieben.

Es ist klar, dass die einzigen Gruppen der Ordnung 1, 2 und 3 C1, C2 und C3 sind. Allgemeiner gesagt, wenn p eine Primzahl ist, dann ist die einzige Gruppe der Ordnung p Cp.

Betrachten Sie den folgenden Vorgang am Kreuzprodukt G ⨯ H von zwei Gruppen:

(a,b)(c,d) = (ac, bd).

Es ist ziemlich einfach zu zeigen, dass dies eine Gruppe ist. Wenn G und H endlich sind, ist G ⨯ H auch endlich und seine Ordnung ist das Produkt der Ordnungen von G und H. Außerdem ist die Ordnung eines Elements (a,b) das am wenigsten verbreitete Vielfache der Ordnungen von a und b.

Es gibt mindestens zwei Gruppen der Ordnung 4: C4 und C2 ⨯ C2. Diese beiden Gruppen sind nicht isomorph, da C4 ein Element der Ordnung 4 hat und C2 ⨯ C2 nicht. Es kann gezeigt werden, dass dies die einzigen Gruppen der Ordnung 4 sind.

Die symmetrische Gruppe Sn von Permutationen einer Menge mit n Elementen ist eine Gruppe der Ordnung n!…. Die Menge aller geraden Permutationen einer solchen Menge ist eine Gruppe der Ordnung n!/2, die eine alternierende Gruppe genannt wird, und wird oft als An geschrieben.

Permutationsgruppen sind besonders wichtig, da jede Gruppe der Ordnung n isomorph zu einer Untergruppe von Sn ist. Das ist ziemlich einfach zu beweisen. Sei ein Element der Gruppe G. Die Funktion Ta : G ⟶ G definiert durch Ta(x) = ax heißt eine Übersetzung der Gruppe. Es ist leicht nachzuweisen, dass es sich um eine Permutation handelt. Der Satz all dieser Permutationen ist eine Gruppe unter Zusammensetzung, und die Verbindung von a mit Ta ist ein Isomorphismus.

4. Kommutative Gruppen

Wenn die Gruppenoperation kommutativ ist (ab = ba für jedes a und b in der Gruppe), dann wird die Gruppe eine kommutative Gruppe oder eine abelsche Gruppe genannt. Die Symbole für die regelmäßige Addition (die kommutativ ist) werden oft für eine kommutative Gruppe verwendet:

Die ganzen Zahlen sind eine kommutative Gruppe unter Addition. Die im vorherigen Abschnitt definierten Gruppen der Ordnung 1, 2, 3, 4 und 5 sind kommutativ. Die kleinste Gruppe, die nicht kommutativ ist, ist S3, die sechs Elemente aufweist.

Jede zyklische Gruppe ist kommutativ.

Satz 4.1. Wenn die Bestellungen von zwei Elementen einer kommutativen Gruppe relativ primär sind, ist die Bestellung ihres Produkts das Produkt ihrer Bestellungen.

Beweis. Seien a und b zwei Elemente einer kommutativen Gruppe mit relativ hohen Ordnungen r und s. Dann ist die Ordnung von ab die kleinste positive ganze Zahl m, für die (ab) m = e, oder gleichwertig a m = b -m.

Erhöhen Sie jede Seite auf die s-te Leistung, um a ms = b -ms = (b -s) m = e m = e m = e. Daher teilt r ms. Da r und s relativ prim sind, teilt r m. Ebenso teilt s m. Da r und s relativ prim sind, teilt rs m. Da (ab) rs = a rs b rs = ee = ee = e, teilt m rs. und damit m = rs. ? ?

Eigentlich ist es nicht notwendig, dass die gesamte Gruppe kommutativ ist. Es genügt, dass die beiden Elemente miteinander pendeln.

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