Bestimmungsfaktoren

Original: http://www.efgh.com/math/algebra/determinants.htm von Philip J. Erdelsky

1. Definition

Lass A eine n ⨯ n Matrix sein. Normalerweise werden die Einträge in A aus einem Feld übernommen, aber viele der Ergebnisse gelten auch für Matrizen, deren Elemente aus allgemeineren Strukturen, wie z.B. Kommutatorringen, übernommen werden.

Das Element in der i-ten Zeile und die j-ten Spalte von A sollen in der üblichen Weise durch ai,j dargestellt werden. Die Determinante von A, die üblicherweise als det(A) oder ∣A∣ geschrieben wird, ist die Summe aller n! Produkte der Form

n
sp ∏ ai,p(i) ,
i=1

wobei p eine Permutation von {1,2,3,…,n} ist und sp +1 ist, wenn p gerade ist und -1, wenn p ungerade ist.

Jedes Produkt enthält genau ein Element aus jeder Zeile und genau ein Element aus jeder Spalte. Die Summe enthält alle diese Produkte.

Für kleine Matrizen können wir die Determinante direkt berechnen:

Für jede Permutation p von {1,2,3,….,n},

1 + 2 + … + n = p(1) + p(2) + ….. + p(n)

weil die rechte Seite die gleichen Addenden enthält, möglicherweise in einer anderen Reihenfolge. Folglich wenn p(i) > i für einige i, dann p(j) < j für einige j≠i. Wenn also ein Produkt in der Definition von det(A) ein Element oberhalb der Hauptdiagonale enthält, enthält es auch ein Element unterhalb der Hauptdiagonale.

Wenn eine Matrix entweder oberes Dreieck (ai,j=0 wenn i>j), unteres Dreieck (ai,j=0 wenn i<j) oder Diagonale (ai,j=0 wenn i≠j) ist, dann reduziert sich die Determinante auf einen einzigen Term, der der Identitätspermutation entspricht, da jeder andere Term einen Nullfaktor enthält:

det(A) = a1,1 a2,2… an,n, wenn A dreieckig oder diagonal ist.

Insbesondere ist die Determinante der Identitätsmatrix 1 und die Determinante der Nullmatrix 0.

Wenn eine Matrix eine Zeile mit allen Nullen oder eine Spalte mit allen Nullen enthält, ist ihre Determinante Null, da jedes Produkt in seiner Definition einen Nullfaktor enthalten muss.

2. Grundlegende Eigenschaften

Satz 2.1. Die Determinante einer Matrix ist gleich der Determinante ihrer Umsetzung.

Beweis. Die Determinante von AT enthält die folgenden Produkte:

n
sp ∏ ap(i),i ,
i=1

Nun soll q der Kehrwert der Permutation p sein und damit die Faktoren neu anordnen:

n
sp ∏ ai,q(i) ,
i=1

Da die Parität von q gleich der Parität von p ist, ist sq = sp, so dass dies zu einem

n
sq ∏ ai,q(i) ,
i=1

Daher enthält die Definition von det(AT) die gleichen Begriffe wie die Definition von det(A), möglicherweise in einer anderen Reihenfolge. ?

Daher gelten viele Ergebnisse zu den Zeilen einer Determinante sinngemäß auch für ihre Spalten.

Satz 2.2. Die Determinante einer Matrix ist eine lineare Funktion jeder ihrer Zeilen (oder Spalten).

Beweis. Die Multiplikation einer Zeile mit einem konstanten Faktor führt in jedes Produkt bei der Definition der Determinante den gleichen Faktor ein, so dass sie auch die Determinante mit dem gleichen Faktor multipliziert.

Betrachten Sie die erste Zeile. Wenn sich A und B nur in der ersten Reihe unterscheiden, dann können die Determinanten von A und B als Summen der folgenden Produkte geschrieben werden:

n
sp [a1,p(1) ∏ ai,p(i)]
i=2

n
sp [b1,p(1) ∏ ai,p(i)]
i=2

Dann können wir die Summen Term für Term hinzufügen, um den entsprechenden Term in der Summe der beiden Determinanten zu erhalten:

n
sp [(a1,p(1)+b1,p(1)) ∏ ai,p(i)]]
i=2

Dies ist die Determinante der Matrix, die durch Hinzufügen der ersten Reihe von A zur ersten Reihe von B erhalten wird.

Der Beweis für andere Reihen ist ähnlich. ?

Satz 2.3. Wenn zwei Zeilen (oder Spalten) einer Matrix ausgetauscht werden, ändert sich das Vorzeichen ihrer Determinante.

Beweis. Dies ändert die Parität jeder Permutation in der Definition der Determinante, so dass sie das Vorzeichen jedes Begriffs und damit das Vorzeichen der Determinante ändert. ?

Satz 2.4. Wenn zwei Zeilen (oder Spalten) einer Matrix proportional sind, ist ihre Determinante Null.

Beweis. Dies ist offensichtlich, wenn der Proportionalitätsfaktor Null ist. In anderen Fällen multiplizieren Sie eine Zeile mit einem konstanten Faktor, so dass sie gleich der anderen wird. Dadurch wird die Determinante mit dem gleichen Nicht-Nullfaktor multipliziert. Die resultierende Determinante hat zwei gleiche Zeilen, so dass ihre Determinante unverändert bleibt, wenn die Zeilen ausgetauscht werden, aber durch Theorem 2.2 wird das Vorzeichen ihrer Determinante geändert. Daher muss seine Determinante, wie auch die Determinante der ursprünglichen Matrix, Null sein. ?

3. Elementare Zeilen- und Spaltenoperationen

Erinnern Sie sich daran, dass das Multiplizieren einer Zeile einer Matrix mit einer Konstanten und das Hinzufügen des Ergebnisses zu einer anderen Zeile eine elementare Zeilenoperation genannt wird. Die erste Zeile bleibt unverändert und die zweite wird durch das Ergebnis ersetzt. Im folgenden Beispiel wird die erste Zeile mit 2 multipliziert und zur zweiten Zeile addiert:

| 1 2 3 | | 1 2 3 |
| 4 1 0 | | 6 5 6 |
| 7 8 9 | | 7 8 9 |

Wir stellen fest, dass die beiden Matrizen die gleiche Determinante haben:

1*1*9 – 1*0*8 + 2*0*7 – 2*4*9 + 3*4*8 – 3*1*7 = 9-0+0-72+96-21 = 12
1*5*9 – 1*6*8 + 2*6*7 – 2*6*9 + 3*6*8 – 3*5*7 = 45-48+84-108+144-105 = 12

Eine analoge Operation auf Spalten wird als elementare Spaltenoperation bezeichnet.

Satz 3.1. Eine elementare Zeilen- (oder Spalten-) Operation auf einer Matrix ändert nichts an ihrer Determinante.

Beweis. Nach Theorem 2.2 ist die Determinante eine lineare Funktion der durch die Operation geänderten Zeile. Darüber hinaus fügt der Vorgang die entsprechenden Zeilen von zwei Matrizen hinzu, die ursprüngliche Matrix und eine weitere mit zwei proportionalen Zeilen, deren Determinante Null ist. Daher ist die Determinante unverändert. ?

Dieses Argument kann einfacher zu verstehen sein, wenn man das oben genannte Beispiel betrachtet:

| 1 2 3 | | 1 2 3 | | 1 2 3 |
det(| 6 5 6 |) = det(| 4 1 0 |) + det(| 2 4 6 |),
| 7 8 9 | | 7 8 9 | | 7 8 9 |

Die letzte Determinante ist Null, da die ersten beiden Zeilen proportional sind.

Satz 3.2. Die Determinante einer singulären Matrix ist Null.

Beweis. Wenn eine Matrix singulär ist, dann ist eine ihrer Zeilen eine lineare Kombination der anderen. Durch die Anwendung wiederholter elementarer Zeilenoperationen können wir diese Zeile auf Null setzen, ohne die Determinante zu ändern. Die Determinante des Ergebnisses ist Null, ebenso wie die Determinante der ursprünglichen Matrix. ?

4. Berechnung von Determinanten durch Eliminierung

Elementare Zeilenoperationen können zur Berechnung von Determinanten verwendet werden. Aber zuerst brauchen wir ein konkretes Ergebnis.

Satz 4.1. Wenn jedes Element der letzten Spalte eines n ⨯ n Matrix A Null außer ann ist, dann ist seine Determinante das Produkt von ann und die Determinante der (n-1) ⨯ (n-1) Submatrix bestehend aus den ersten n-1 Zeilen und Spalten von A.

Beweis. Wenn wir alle Produkte in der Definition von det(A) löschen, die eines der Nullelemente enthalten, enthalten die restlichen Produkte alle ann, und die zugehörigen Permutationen bleiben alle n fixiert. Somit ist jede zugehörige Permutation auch eine Permutation von {1,2,….,n-1}, und ihre Parität ist die gleiche wie die Permutation von {1,2,…,n}. Wir können ann herausrechnen, und was bleibt, ist die Definition der Determinante der Submatrix. ? ?

Die Art und Weise, wie eine Determinante berechnet wird, kann rekursiv beschrieben werden.

• Wenn n=1 ist, ist die Determinante der Matrix ihr einziges Element.
• Wenn n>1,
• Wenn die letzte Spalte alle Nullen ist, ist die Matrix singulär und ihre Determinante ist Null.
• Wenn die letzte Spalte nicht alle Nullen enthält.
• Wenn ann = 0 ist, vertauschen Sie zwei Zeilen, so dass es ungleich Null ist.
• Führen Sie elementare Zeilenoperationen durch, indem Sie jeder anderen Zeile entsprechende
• Vielfache der letzten Zeile hinzufügen, so dass alle Einträge in der letzten Spalte, außer ann, Null werden.
• Verwenden Sie das Verfahren rekursiv, um die Determinante der (n-1) ⨯ (n-1) Submatrix zu finden, die aus den ersten n-1 Zeilen und Spalten von A besteht.
• Verwenden Sie Lemma 4.1, um die Determinante von A zu finden.
• Wenn Zeilen von A vertauscht werden mussten, ändern Sie das Vorzeichen des Ergebnisses.

5. Die Determinante eines Produkts

Das folgende elegante Ergebnis ist ziemlich schwer zu beweisen.

Satz 5.1. Wenn A und B n ⨯ n Matrizen sind, dann det(AB)=det(A)det(B).

Beweis. Für bestimmte Arten von Matrizen ist dieses Ergebnis leicht nachzuweisen. Wir werden zeigen, dass det(AB)=det(A)det(B), zuerst für spezielle Matrizen, und dann für allgemeine Matrizen.

Wenn A singulär ist, dann det(A)=0, da AB auch singulär ist, det(AB)=0, das das Ergebnis ermittelt, wenn A singulär ist.

Nun soll A eine diagonale Matrix sein. Dann ist AB einfach die Matrix B mit jeder Zeile multipliziert mit dem diagonalen Element von A in der gleichen Zeile. Durch Theorem 2.2 ist det(AB) das Produkt von det(B) und allen diagonalen Elementen von A. Da det(A) das Produkt der diagonalen Elemente von A ist, bestimmt dies das Ergebnis, wenn A diagonal ist.

Betrachten Sie nun die elementare Zeilenoperation, die die r-te Zeile von B mit c multipliziert und zur s-ten Zeile addiert. Es ist leicht zu zeigen, dass das Ergebnis direkt aus der Definition der Matrixmultiplikation AB ist, wobei A die Matrix mit 1’s entlang ihrer Hauptdiagonale, asr = c und Nullen an anderer Stelle ist. Außerdem ist det(A) = 1, weil es eine dreieckige Matrix mit allen diagonalen Elementen gleich 1 ist. durch Theorem 3.1, det(AB) = det(B). Daher det(AB) = det(A)det(B), das das Ergebnis ermittelt, wenn A eine solche Matrix ist, die wir eine elementare Zeilenoperationsmatrix nennen werden.

Die Umkehrung einer elementaren Zeilenoperation ist eine elementare Zeilenoperation mit dem skalaren -c.

Angenommen, die Matrix A wird durch Vertauschen von zwei Reihen der Identitätsmatrix erhalten. Dann ist det(A) = -1. Außerdem ist AB die Matrix B mit den gleichen zwei vertauschten Zeilen, also det(AB) = -det(B). Dies ergibt das Ergebnis, wenn A eine solche Matrix ist, die wir als Austauschmatrix bezeichnen werden.

Eine Interchange-Matrix ist eine eigene Umkehrung.

Nun kann jede nicht singuläre quadratische Matrix durch eine Reihe von elementaren Zeilenoperationen und Zeilenvertauschungen wie folgt in eine diagonale Matrix umgewandelt werden. Dieser Prozess ist für 1 ⨯ 1 Matrizen leer; für größere Matrizen verwenden wir Induktion auf die Matrixgröße.

Da die Matrix nicht singulär ist, enthält die erste Spalte mindestens ein Element ungleich Null. Vertauschen Sie bei Bedarf zwei Reihen, um ein Element ungleich Null in die linke obere Ecke zu bringen.

Ziehen Sie geeignete Vielfache der ersten Zeile von jeder anderen Zeile ab, um alle Elemente der ersten Zeile auf Null zu setzen, mit Ausnahme des Elements in der oberen linken Ecke.

Die Submatrix, die durch das Löschen der ersten Zeile und der ersten Spalte erhalten wird, muss nicht singulär sein. Wenn seine Zeilen abhängig wären, dann wären die letzten Zeilen der gesamten Matrix auf die gleiche Weise abhängig.

Wenden Sie die gleiche Vorgehensweise auf die Submatrix an, um sie zu diagonalisieren. Dabei handelt es sich um elementare Zeilenoperationen und Zeilentausch, die die erste Zeile nicht betreffen.

Ziehen Sie schließlich geeignete Vielfache jeder anderen Zeile von der ersten Zeile ab, um alle Elemente auf Null zu setzen, mit Ausnahme des Elements in der oberen linken Ecke.

Die resultierende Matrix ist diagonal.

Wir sind nun bereit zu beweisen, dass det(AB) = det(A)det(B) für eine allgemeine nichtsinguläre Matrix A.

Es gibt eine Reihe von elementaren Zeilenoperationen und Zeilenvertauschen, die A zu einer diagonalen Matrix machen. Wir können diese Operationen rückwärts durchführen, um die diagonale Matrix wieder in A umzuwandeln. R1, R2, R3,…, Rm seien die Matrizen dieser Rückwärtsoperationen. Dann

R1 R2 R3 R3 ….. Rm D = A,

wobei D eine diagonale Matrix ist. Die wiederholte Anwendung der Sonderfallergebnisse zeigt, dass

det(R1) det(R2) det(R3) …. det(Rm) det(D) = det(A).

In ähnlicher Weise,

R1 R2 R3 R3 ….. Rm D B = AB,

und

det(R1) det(R2) det(R3) …. det(Rm) det(D) det(B) = det(AB),

Daher det(A)det(B) = det(AB), das das Ergebnis bestimmt, wenn A eine nicht-singuläre Matrix ist. ?

Das Ergebnis kann auf eine beliebige endliche Anzahl von Matrizen erweitert werden, z.B. det(ABC) = det(A)det(B)det(C).

Das Ergebnis gilt auch für Matrizen über jedem Kommutativring, obwohl dieser Nachweis von einem Eliminierungsprozess abhängt, der bei Kommutativringen nicht immer möglich ist. In diesem Fall betrachten Sie det(AB) – det(A)det(B) als Funktion von 2 N 2 unabhängigen Variablen, die die Einträge in A und B sind. Es ist ein Polynom, dessen Wert für alle Werte der unabhängigen Variablen in jedem Feld Null ist. Für unendliche Felder, wie z.B. das Feld der reellen Zahlen, ist dies nur möglich, wenn alle Koeffizienten Null sind, wenn ähnliche Begriffe kombiniert werden. Somit ist das Polynom auch in jedem Kommutativring identisch Null.

Satz 5.2. Die Determinante einer nicht-singulären Matrix ist ungleich Null und det(A-1) = 1/det(A).

Beweis. Wenn A nicht singulär ist, dann ist det(A-1)det(A) = det(A-1A) = det(I) = 1. ?

Ähnliche Matrizen haben die gleiche Determinante, weil det(Q-1AQ) = det(Q-1) det(A) det(Q) = (1/det(Q)) det(A) det(Q) = det(A). Da zwei verschiedene Matrizen ähnlich sind, wenn und nur wenn es sich um Matrizen derselben linearen Transformation in Bezug auf verschiedene Basen handelt, ist es sinnvoll, von der Determinante einer linearen Transformation zu sprechen, ohne Rücksicht auf eine bestimmte Basis oder Matrix.

Satz 5.3. Die Determinante der direkten Summe von zwei oder mehr quadratischen Matrizen ist das Produkt ihrer Determinanten:

det(A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ …. ⊕ Am) = det(A1) det(A2) …. det(Am).

(Die Matrizen müssen nicht die gleiche Größe haben.)

Beweis. Es ist ziemlich einfach, aus der Definition hervorzugehen, dass das Ergebnis für zwei Matrizen gilt, wenn eine davon die Identität ist:

det(A ⊕ I) = det(I ⊕ A) = det(A).

Der Partitionssatz kann verwendet werden, um zwei partitionierte Matrizen zu multiplizieren:

A ⊕ B = (A ⊕ IB) (IA ⊕ B),

wobei IA und IB Identitätsmatrizen derselben Größe wie A bzw. B sind.

Dann

det(A ⊕ B) = det(A ⊕ IB) det(IA ⊕ B) = det(A) det(B).

Die Erweiterung auf drei oder mehr Matrizen ist einfach. ?

6. Kofaktoren und Minderjährige

Bei der Definition von det(A), wobei A eine n ⨯ n Matrix ist, lassen Sie uns die Elemente der i-ten Zeile herausrechnen:

det(A) = Ai1 ai1 + Ai2 ai2 ai2 + ….. + Ain ain (6.1.1.1)

Der Koeffizient Aij wird als Kofaktor von aij bezeichnet.

Da jedes Produkt in der Definition von det(A) genau ein Element aus jeder Zeile und Spalte enthält, enthält der Cofaktor Aij keine Elemente aus der i-ten Zeile oder der j-ten Spalte. Tatsächlich ist es die Determinante einer Matrix, die aus A erhalten wird, indem man aij durch 1 und alle anderen Elemente der i-ten Zeile und j-ten Spalte durch Nullen ersetzt.

Satz 6.1. Der Kofaktor Aij ist das Produkt aus (-1) i+j und der Determinante der Matrix Mij, die aus A erhalten wurde, indem die i-te Zeile und die j-te Spalte gelöscht und die restlichen Elemente zusammengedrückt werden, um eine (n-1) ⨯ (n-1) Matrix zu bilden.

Beweis. Dies ist am einfachsten zu erkennen, wenn das Element a11 ist. In diesem Fall besteht M11 aus den letzten n-1 Zeilen und den letzten n-1 Spalten, und es wird nicht gestört, wenn a11 durch 1 ersetzt wird und andere Elemente in der ersten Zeile und Spalte durch Nullen ersetzt werden.

Die Determinante der gesamten Matrix ist eindeutig die gleiche wie die Determinante von M11, was das Ergebnis für diesen Fall belegt.

Wenn sich das Element aij an anderer Stelle in der Matrix befindet, dann können wir es in die erste Zeile bringen, ohne die relativen Positionen der anderen Zeilen zu ändern, indem wir die Zeilen austauschen. Zuerst tauschen wir die i-te und die (i-1)-te Zeile aus. Dann tauschen wir die (i-1)-te und (i-2)-te Reihe, und so weiter, bis wir die erste und zweite Reihe tauschen.

Gleichzeitig können wir j benachbarte Spaltenvertauschungen durchführen, um das Element in die linke obere Ecke zu bringen.

Alle diese Börsen haben die Determinante mit (-1) i+j multipliziert. Die resultierende Determinante ist offensichtlich die Determinante von Mij, dessen Zeilen und Spalten nun zusammen sind. Dies beweist das Ergebnis im allgemeinen Fall. ?

Eine Matrix, die durch das Löschen einiger Zeilen und Spalten von A gebildet wird, wie beispielsweise Mi,j, wird als Nebenfach von A bezeichnet.

Dieser Satz kann rekursiv mit (6.1.1) verwendet werden, um Determinanten zu berechnen, aber er ist für größere Matrizen unpraktisch, da die Anzahl der Operationen mit n exponentiell steigt.

Wie bei den meisten Ergebnissen für Determinanten gibt es auch für die j-te Spalte ein ähnliches Ergebnis:

det(A) = A1j a1j + A2j a2j + ….. + Anj anj (6.1.2)

Betrachten Sie nun einen Ausdruck ähnlich wie (6.1.1) mit Elementen aus der i-ten Reihe und Kofaktoren aus der k-ten Reihe. Wenn i≠k, entspricht dies (6.1.1) für eine Matrix mit zwei gleichen Zeilen. Nach Theorem 2.4 ist seine Determinante Null. Daher

Ak1 ai1 + Ak2 ai2 + ….. + Akn ain = 1 wenn i=k, sonst 0.

Sei C eine Matrix der Kofaktoren von A, d.h. cij = Aij. Wenn A nicht singulär ist, ist das Produkt A det(A) CT = I. Daher (1/det(A)) CT ist das Gegenteil von A.

Wenn die Elemente von A aus einem Kommutativring entnommen werden, dann hat A einen Inversen, wenn, und nur wenn, det(A) einen Inversen hat.

7. Cramer’s Regel

Ursprünglich wurden Determinanten angewendet, nicht auf Matrizen als solche, sondern auf Systeme von n linearen Gleichungen in n Unbekannten:

a11 x1 + a12 x2 + ….. + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ….. + a2n xn = b2
* * *
an1 x1 + an2 x2 x2 + ….. + ann xn = Mrd.

Dies kann in Matrixform als Ax = b geschrieben werden, wobei x und b Spaltenvektoren sind und A die Matrix der Koeffizienten ist.

Wenn A nicht singulär ist, hat das System eindeutig eine einzigartige Lösung x = A-1b = (1/det(A))CTb, wobei C die Matrix der Kofaktoren von A ist.

xi = (b1 A1i + b2 A2i + …+ bn Ani) / det(A).

Die Summe ist die Cofaktorausdehnung der Determinante einer Matrix, die aus A durch Ersetzen der i-ten Spalte durch b erhalten wird. Das Ergebnis kann durch die Cramer’sche Regel recht elegant ausgedrückt werden:

Satz 7.1. Wenn die Determinante D der Matrix der Koeffizienten eines Systems von n linearen Gleichungen in n Unbekannten in einem Feld ungleich Null ist, dann hat das System eine einzigartige Lösung, und der Wert des i-ten Unbekannten ist das Produkt von (1/D) und die Determinante der Matrix, erhalten durch Ersetzen der Koeffizienten des i-ten Unbekannten durch die Konstanten.

Natürlich gilt das gleiche Ergebnis für einen Kommutatorring, nur dass in diesem Fall die Determinante der Koeffizienten eine Umkehrung aufweisen muss.

Aufgrund der großen Anzahl von Operationen, die erforderlich sind, ist Cramers Regel ein praktischer Weg, um lineare Gleichungen nur dann zu lösen, wenn die Anzahl der Gleichungen klein ist.

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